裂纹学
09 · 从扩展速率积分到循环数
逐步计算理想恒幅条件下的扩展循环数，并说明初始裂纹、终止条件和变幅载荷的影响。
先记住这三点
- 积分前先设定边界
- m=3 的手算
- 为什么初始尺寸很重要
- 变幅不能只取平均应力
积分前先设定边界
若 ΔK=YΔσ√(πa)，且 Y、Δσ、C、m 恒定，则 N=∫a₀ᵃᶠ da/[C(YΔσ√π)^m a^(m/2)]。a₀ 是开始计算的裂纹尺寸，af 是计算终点，二者都必须落在模型的有效区间。N 只包含这段扩展，不含此前萌生。
对 m≠2，N=[af^(1−m/2)−a₀^(1−m/2)]/[(1−m/2)C(YΔσ√π)^m]；m=2 时为 ln(af/a₀)/[C(YΔσ√π)²]。这两个表达在边界一致时为正，若算出负寿命，应检查积分上下限和符号。
m=3 的手算
教学参数：Y=1、Δσ=100 MPa、C=10⁻¹¹、m=3，a 从 1 mm 增至 4 mm。令 A=C(Δσ√π)³≈5.5683×10⁻⁵，则 N=2/A·(a₀⁻¹ᐟ²−af⁻¹ᐟ²)≈5.679×10⁵ cycles。a 使用 m，C 与上一章的配套单位相同。
这只是理想幂律积分。要将它用于材料，必须确认对应 ΔK 区间、R 比、频率和环境有实测依据，并确认 Kmax 没有先达到失稳条件。演算不能证明任何零件还有约 57 万次寿命。
为什么初始尺寸很重要
对 m>2 的理想模型，小裂纹阶段对积分有较大贡献，但短裂纹又可能偏离长裂纹 Paris 规律。初始裂纹取自检测时，还受到检出概率和尺寸误差影响。把检测下限当作“所有未检出裂纹的最大尺寸”并无统计依据。
实际有限宽板的 Y 常随 a 改变，应数值积分并更新几何。若存在多个裂纹合并、分叉或非半椭圆前缘，单变量 a 模型可能不再合适。
交互练习 · 原创教学模型
恒幅 Paris 积分：裂纹随循环加速增长
a = 1.000 mm
N = 0 cycles
本段积分：567,904 cycles
改变应力时曲线归一化形状相同，实际循环数改变；未计入裂纹萌生寿命。
独立教学参数：C=10⁻¹¹（da/dN 用 m/cycle，ΔK 用 MPa√m）、m=3、Y=1、恒定 Δσ；仅积分 a=1–4 mm，未核定真实材料的有效区间和失稳条件。时间播放是归一化进度。
变幅不能只取平均应力
过载可通过塑性与闭合影响后续扩展，欠载和环境暴露也可能产生顺序效应。两段含同样循环数但排序不同的载荷谱，不保证有相同扩展。把全部载荷压成一个平均 Δσ，因幂律非线性也会丢失信息。
教学检查：若其他条件固定且始终在同一 m=3 区间，Δσ 加倍使积分循环数变为八分之一。这个比例关系比背诵单一寿命数更值得掌握。
来源与延伸阅读
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