裂纹学
03 · Griffith 能量平衡：裂纹为什么能够扩展
从总势能变化推导能量释放率 G，理解表面能、有效断裂能和稳定性的区别。
先记住这三点
- 把系统的能量账列出来
- 无限板中央裂纹的简化解
- 手算与单位
- 从历史论文到实际材料
把系统的能量账列出来
在准静态弹性条件下，可把结构势能写成 Π=U−W，其中 U 为储存的弹性应变能，W 为外力势的相应项。裂纹面积 A 增大时，结构释放的能量率为 G=−∂Π/∂A，单位 J/m²，也可写 N/m。A 的定义必须与文献约定一致，常以裂纹在原平面的增量面积计。
形成两片新表面需要能量。对理想脆性材料，在采用上述面积约定时临界条件可写 G=2γ，γ 为一片表面的表面能。真实金属还耗散塑性能，不能用纯表面能代表其全部断裂阻力。通常用实验表征的阻力 R 或 Gc。
无限板中央裂纹的简化解
对总长 2a 的中央贯穿裂纹，在均匀远场应力 σ、各向同性线弹性假设下，G=πaσ²/E′。平面应力 E′=E，平面应变 E′=E/(1−ν²)。理想脆性起裂条件给出 σc=√(2E′γ/(πa))。这说明缺陷变大时达到扩展所需的远场应力下降。
公式没有包含有限宽度、复杂边界、三维表面裂纹或大范围塑性，不能直接用于任意零件。真实材料的 R 还可能随扩展量变化；“达到 G=R”只说明可能开始扩展，后续是否稳定要比较驱动力和阻力随 a 的变化。
手算与单位
教学设定 E′=70 GPa，γ=1 J/m²，a=0.1 mm。代入 SI 单位得到 σc≈21.1 MPa。若 a 增为 0.4 mm，σc 减半约为 10.6 MPa。这些数值不对应某种已认证玻璃，是用来检查平方根关系与单位的算例。
常见错误是把 0.1 mm 直接当作 0.1 m 代入，导致应力差 √1000 倍；或把总裂纹长度 2a 误当成 a。每次计算先把几何图、单位和变量表写在公式旁。
从历史论文到实际材料
Griffith 1921 年工作的价值在于用能量描述含缺陷固体的断裂，而不是提供所有材料的通用强度常数。对于有塑性耗散的金属，需要进一步学习 Irwin 的 K 与弹塑性断裂参量。
练习：若弹性结构在固定力和固定位移下扩展，外部系统做功不同，G 随裂纹长度的变化可能不同。由此可见，稳定性不能只看材料，也与加载装置和边界条件有关。
来源与延伸阅读
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