EBSD 实操：界面统计
五参数晶界分布：法向、错取向、面积权重和立体学反演
推导五参数数据怎样合并、归一化和解释，理解二维统计恢复的分布与逐条三维晶界测量的差别。
先记住这三点
- 法向和错取向的对称操作必须配套，不能各自独立约化。
- GBCD 是面积概率密度；一张晶界法向图的亮度不是界面能。
- 二维立体学能恢复总体分布，但不能自动给每条界面的真实倾角。
五个变量来自哪里
相对取向Δ=R1ᵀR2有三个自由度，界面单位法向n1=R1ᵀns有两个自由度，合计五个。第二晶粒中的法向n2=R2ᵀns=Δᵀn1，所以它不是另外两个独立变量。
若规定两颗晶粒分别采用朝外法向，第二法向要再带负号。必须先明确是同一个有向法向在两个坐标中表示，还是两个相反朝外法向，否则关系式看起来会差一个负号。
对称化为什么必须同步
令晶体等价代表为R1′=R1S1、R2′=R2S2。由定义直接算得Δ′=S1ᵀΔS2，n1′=S1ᵀn1，n2′=S2ᵀn2。这个三元变换是同一条物理边界的另一种表示。
若先用S1、S2把Δ归入某个轴角区域，却用另一组操作把n独立折到普通IPF三角形，二者便不再属于同一代表。固定Σ3或Σ9时，平面的基本区随该错取向的对称性改变。这里统计同相、无晶粒次序的无向几何界面：还合并n与−n，以及交换两晶粒(Δ,n1)→(Δᵀ,Δᵀn1)。若法向始终从1指向2，交换时第二项还要反号。异相有标签界面则不能不加区分地交换相别。
从三角面元得到 GBCD
对第j个面元，顶点p0、p1、p2给cj=(p1−p0)×(p2−p0)，Aj=|cj|/2，ns,j=cj/|cj|。将(Δj,n1,j)经过一致对称处理后放入五维分箱B，面积概率pB=ΣAj1[j∈B]/ΣAj。
密度值需再除以该分箱对应的随机参考概率qB：mrdB=pB/qB。几何基本区域、晶粒交换和法向正负的等价规则、分箱宽度及固定错取向的条件都会影响qB；因此不能把所有图上的红色最大值直接比较成相同面积分数。
跟着推导 · 二维缺失的一个角
同一条截面迹线，对应一族晶界面
灰色是观测截面 z=0；绿色是晶界面，粗线是两面的交线。保持迹线方向 α 不动，改变倾角 β，观察三维法向怎样变化。
t = (cosα, sinα, 0)，u = (−sinα, cosα, 0)
n(β) = sinβ u + cosβ Z；n·t = 0，|n| = 1
n × Z = sinβ t：所有这些面都留下同方向的迹线
n = (-0.346, 0.742, 0.574)
为什么直接取截面内垂线会多加一个假设？
截面内垂线 u 是 β=90° 时的法向。将它当完整 n，就假定晶界面垂直于观测截面。二维 EBSD 没有独立测出这个倾角；需要另一个可靠截面、串行切片或其他三维信息增加约束。滑移面已有晶体学候选时可由取向计算法向，但一般晶界不能自动套用这种先验。
采用平面界面的局部模型；同一 n 与 −n 代表无向平面。图为几何投影，不是三维 EBSD 测量结果。
条件分布与总体分布别混淆
“接近Σ3的边界中，各面法向怎么分布”是p(n|Σ3)；“全部边界中，某个Σ3面附近占多少面积”是p(n,Σ3)。两者满足p(n,Σ3)=p(n|Σ3)p(Σ3)。
教学例：材料A中Σ3面积占20%，其中80%接近相干面，则全部边界里的相干部分为16%；材料B中Σ3占50%，其中50%接近相干面，则为25%。只比较80%与50%，会把总体结论倒过来。
二维迹线怎样形成法向概率
每条迹线变到相应晶体坐标后，只要求n·t=0，因此给一条候选大圆。若许多相同类型的边界来自不同空间取向，其真正共同晶面法向会在这些大圆中反复出现，而错误候选方向通常不同时重合。
这只是反演的几何起点。实际计算还需按线长加权、处理对称性和截面抽样几何、估计背景并作归一化。不能把大圆交点计数图直接标成定量mrd，更不能把总体峰值的法向分配给所有单条边界。
从截线推导界面面积密度
设单位体积界面面积为SV，法向n的面积权重分布为p(n)。单位长度测试线沿l穿越界面的期望次数为PL(l)=SV∫|n·l|p(n)dΩ。直观上，与测试线垂直的面更容易被穿过，平行的面几乎不被穿过。
若界面法向各向同性，|cosθ|在球面平均为1/2，因此SV=2PL。另一关系是截面单位面积晶界线长LA=SV⟨sinθ⟩；各向同性时⟨sinθ⟩=π/4，故SV=4LA/π。单位核对：SV和LA都是长度的倒数。强形貌各向异性时不能不加修正套这两个常数。
二维立体学为何受织构和取样限制
若所有晶粒取向都接近同一取向，单一试样截面在晶体坐标中也只从有限方向切界面，许多法向的信息缺失。增加同一个截面像素数不能补回缺失的观测方向。可以用多个独立截面或直接三维测量改善。
样本数应该按真正独立的边界和取向覆盖判断，而不是按线段拆分数判断。一本书中的“约五万段”属于特定反演条件下的经验尺度，不是达到该数就保证所有稀有CSL类型都足够可靠。
真实案例：α黄铜热机械处理
Rohrer等（2006）比较处理前后的五参数分布，发现变化不仅表现在孪晶相关错取向比例，还涉及终止于{111}面的边界以及三岔点组合。该案例说明，界面面型提供了单一Σ统计压缩掉的信息。
读图时先看是否排除了占比很大的相干孪晶，再看各错取向截面的色标和法向位置，最后回到总体面积分数。不能因为某类面更频繁就单独反演出其绝对界面能；出现频率还受到形成途径、迁移率、粒子和非平衡状态影响。
一份可复核报告应包含什么
保存两晶粒的取向、共同试样法向、面积或长度、相别、对称映射、边界标签以及分箱窗口。图注说明是总体分布、条件分布还是投影分布，并给出随机参考的定义。
若研究腐蚀或断裂，应尽可能测同一条界面的三维几何再关联响应；如果只拥有二维总体立体学结果，能讨论的是分布层面的关联，不能宣称已经为每一条腐蚀界面确定五个参数。
来源与延伸阅读
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