EBSD 实操：晶格应变的互补测量
Kossel 微衍射怎样求应变：从 Bragg 圆锥到六分量张量
理解 SEM 内的特征 X 射线怎样产生 Kossel 线，逐步把线位移转成晶面间距变化，再求应变与应力，并与常规 EBSD、HR-EBSD 区分。
先记住这三点
- Kossel 圆锥与线位置
- 晶面间距和方向应变
- 线性方程组与应变参考
1. 发出的是 X 射线，记录的是衍射圆锥
电子束入射晶体后，可以激发局部特征X射线。晶体内的源点向多方向发射，满足Bragg条件的射线构成绕晶面法向的圆锥，在探测平面形成Kossel线。它与电子Kikuchi带都涉及圆锥和投影，但波长、激发过程、吸收深度与检测方式不同，不能把EBSD相机的一套参数直接当成Kossel仪器参数。
一阶Bragg关系2d sinθ=λ要求λ≤2d。用λ=hc/E，得到能量阈值E≥hc/(2d)。教学例d=0.20 nm、hc≈1239.84 eV·nm，阈值约3.10 keV。这个条件只说明某波长几何上可能满足衍射，不代表该元素一定产生所需特征线，也不代表该线能够穿出样品并被检测；还必须考虑激发阈值、荧光产额、吸收与检测效率。
2. 圆锥方程怎样落到探测器像素上
令n为单位晶面法向，u为从源点指向像素的单位射线方向。射线与晶面夹角为θ，因此n·u=±sinθ，平方可写(n·u)²=sin²θ。若像素位置为Q、源点为P，代入u=(Q−P)/|Q−P|，就得到探测平面上的曲线方程。对于有限θ，它通常是圆锥曲线，不能一律用一条直线拟合整条Kossel线。
求n需要取向，求θ需要λ和d，求u需要源点及探测器几何。因此线位置同时受取向、应变和几何参数影响。可先用已知晶格参考样品标定几何，再在同一约定下求未知样品；也可进行联合拟合，但要检查参数之间的相关性。源点位置漂移若未进入模型，可能被错误解释为晶格变化。
3. 从 Bragg 定律一步步推出方向应变
在固定波长下微分2d sinθ=λ，得2 sinθ·δd+2d cosθ·δθ=0。两边除以2d sinθ：δd/d+cotθ·δθ=0。因此沿晶面法向的晶格应变ε_n=δd/d=−cotθ·δθ。角度微分必须用弧度；它是Bragg角θ的变化，不是把仪器上读到的任意双角变化直接代入。
例θ=30°，线位置拟合对应δθ=−0.001 rad，则ε_n=−√3×(−0.001)=0.001732，约0.173%。符号也能检查：晶面间距增大时，为保持λ固定，θ应减小。若测得的是δ(2θ)，必须先除以二；若只有屏幕上的像素位移，还要先通过圆锥投影几何求δθ，不能把一像素视为固定的应变。
4. 六个应变分量从哪些独立信息来
小应变张量ε是对称矩阵，有六个独立分量。对于参考晶体中的单位方向n，线应变为ε_n=nᵀεn。展开得到ε_n=n_x²ε_xx+n_y²ε_yy+n_z²ε_zz+2n_yn_zε_yz+2n_xn_zε_xz+2n_xn_yε_xy。每条独立晶面间距约束都给出这样一行线性方程，记为A e=y，其中e按(xx,yy,zz,yz,xz,xy)排序。
例如n₁=(1,0,0)、n₂=(0,1,0)、n₃=(0,0,1)分别给三个正应变；n₄=(1,1,0)/√2给(ε_xx+ε_yy)/2+ε_xy。若前三者测得0.001、0.002、−0.001，第四个测得0.002，则ε_xy=0.002−0.0015=0.0005。再用(1,0,1)/√2与(0,1,1)/√2可求另外两个剪应变。这是张量分量，不是工程剪应变γ_xy=2ε_xy，二者必须区分。
5. 为什么“六条线”还不够保证可解
至少六个独立标量约束才能求六个分量，但独立性要由矩阵A的秩判断。如果六条线的法向都相近，方程几乎重复，即使数量达到六也会病态。多于六条时，可按线位置不确定度构造权重W，用加权最小二乘e=(AᵀWA)⁻¹AᵀWy；该式要求A满列秩。实际计算可用QR或SVD避免直接求逆，同时查看残差和奇异值。
方向应变式使用参考方向n的一阶近似。更一般地，变形梯度F使倒易矢量g变成g′=F⁻ᵀg；这是因为变形后的实空间基A′=FA，其倒易基为A′⁻ᵀ=F⁻ᵀA⁻ᵀ。将F≈I+β展开，g′≈(I−βᵀ)g；反对称部分改变方向，对称部分改变长度，便与前述取向和应变的分工相连。较大变形需使用完整几何，不能无限沿用小应变线性式。
6. 参考晶格与应力：还缺什么才可以报告
若波长、探测几何和无应力晶面间距d₀均已知，Kossel线的角度变化可以对各向同性晶格伸缩提供约束。它与许多仅从相对图样位移提取偏应变的HR-EBSD实现具有不同的可观测性。若d₀未知，则温度、成分变化、缺陷导致的晶格参数变化都可能混入所谓弹性应变；测得d与参考d的差不能自动叫作载荷产生的应变。
应力需由弹性本构σ_ij=C_ijkl ε^e_kl求出。首先说明ε^e相对什么无应力状态，再把单晶刚度张量旋转到与应变相同的坐标。自由表面条件σn=0可以作为边界检验，但不能擅自假设所有应力分量均为零。热膨胀或成分引起的本征应变应与弹性部分区分，否则即使线拟合非常准确，应力解释仍可能错误。
7. 一次可复核的流程与文献案例
实际分析可按以下顺序记录：选定特征线及晶体结构→核对允许反射和波长→标定源点与探测器→识别多组Kossel线→用未变形晶格拟合取向→检查系统残差→加入应变参数→检查秩、协方差和不同线组的一致性→再结合d₀与弹性常数讨论应力。不要只输出一张彩色应变图；应让读者能够从某条拟合线追溯到对应的ε_n和张量方程。
Bouscaud、Morawiec、Pesci、Berveiller与Patoor在2014年研究了SEM内Kossel微衍射的应变分辨能力，原始论文为“Strain resolution of scanning electron microscopy based Kossel microdiffraction”（https://doi.org/10.1107/S1600576714019402）。阅读重点是线位置测量、几何标定和应变拟合怎样共同限制结果，而不是把一种仪器条件下的精度写成所有EBSD系统的性能。教材第7章将Kossel放在互补测量部分，正是因为它需要相应的X射线探测与分析条件。
来源与延伸阅读
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