织构分析：PF · IPF · ODF
IPF 反极图与 IPF 色图：固定 ND 以后，颜色到底在说什么
用逆旋转推出 IPF，解释标准三角形和颜色编码，并演示同色晶粒为什么不一定拥有同一个完整取向。
先记住这三点
- IPF 固定一个试样方向，寻找它在每个晶体参考系里对应的方向。
- IPF-ND、IPF-RD、IPF-TD 是三个不同问题。
- 一张 IPF 色图保留空间位置，但颜色本身通常不编码全部三个取向自由度。
把 PF 的问题反过来问
PF 固定晶体法向，问它在试样中朝哪儿。IPF 固定试样方向，比如 ND，问每个晶粒中哪一条晶体方向与 ND 平行。若前一章采用 rₛ=Rr𝚌，则本章直接用 r𝚌=Rᵀrₛ。
IPF 的坐标是晶体方向，不再是 RD、TD 的平面坐标。把 IPF 图角落标成 [001]、[101]、[111]，是说明这些顶点代表哪些晶体方向；不能把三角形当作试样上的一个真实三角区域。
从逆矩阵一步步得到一个点
选定试样单位方向 y，例如 ND=(0,0,1)ᵀ；对每个晶粒计算 h=Rᵀy。由于 R 是旋转矩阵，h 仍为单位向量。再用晶体对称操作将 h 约化到选定基本扇区，最后投影显示。
例如 Cube 取向时 R=I，ND 对应晶体 [001]。若把该晶体只绕 ND 转 45°，ND 对应的晶体方向仍是 [001]，所以 IPF-ND 的位置和颜色不变；但 RD 在晶体中对应的方向已经变化。这个例子直接证明一个 IPF 点不能普遍唯一指定完整取向。
立方标准三角形是怎样来的
立方对称下可以对方向分量作允许的等价变换，再结合适用的正负等价约定，把方向收进一个标准区域。常用边界由 ⟨001⟩、⟨101⟩、⟨111⟩ 构成。三角形是球面基本区域的投影，而不是三个取向之间作普通线性插值形成的平面。
HCP 的对称性不同，基本区域和端点标注也不同，常见包含 [0001] 与两个基面方向。晶体对称或坐标设置一旦改动，色键也会改变。不要把立方材料的三角形色标直接套到六方材料上。
跟着推导 · 教学几何
PF 与 IPF：正向与反向映射
固定晶体 [001] 看它指向试样哪里；再固定试样 ND，反问哪条晶体方向指向它。拖动三个角，观察哪一张图保持不变。
R = Rz(φ₁) Rx(Φ) Rz(φ₂)，晶体 → 试样
PF 向量 = (0.470, -0.671, 0.574)；IPF 向量 = (0.280, 0.770, 0.574)
r = tan(θ/2)；屏幕位置 = (r cosψ, r sinψ)
为什么改变 φ₂，左图不动？
绕晶体 [001] 自身旋转不改变该方向，所以单个极无法记录这一个自由度。右图在晶体坐标中记录 ND 的方向，会随 φ₂ 改变。反过来，绕试样 ND 的 φ₁ 不改变右图。这正是两种投影都丢失一项信息的几何原因。
只显示一个指定极及一个反向方向；右图为未按晶体对称折叠的方向圆盘，便于比较，不能当作标准 IPF 色键。均为几何示意。
IPF 分布图与 IPF 地图有什么区别
IPF 分布图把许多晶粒的 h 点放在同一晶体方向区域中，可以显示散点或方向密度。IPF 地图则先把每个 h 转成颜色，再把颜色放回该像素在试样上的 x、y 位置。前者强调分布，后者保留空间组织。
因此“反极图”和“反极图着色的取向图”不是同一张图。地图的坐标单位可以是 μm，三角形的坐标则是晶体方向。论文中最好写 IPF-ND map 或“以 ND 着色的取向图”，让读者知道固定了哪条试样轴。
红、绿、蓝不是材料属性
常见立方色键把 [001] 附近涂红、[101] 附近涂绿、[111] 附近涂蓝，但软件可能采用不同的颜色空间、基本区和细节。读取颜色前必须看同图色键。红色不表示高应力、低硬度或变形严重。
相近颜色也不保证完整错配角很小。沿固定试样方向的自转可能不改颜色；某些颜色映射在边界附近还会使数值变化与视觉变化不成比例。晶粒分割必须根据取向和对称性计算，不能在彩色截图上按 RGB 距离完成。
为什么晶内渐变可以作为线索，却不能单独定量
晶内颜色连续变化，说明被编码的晶体方向随空间发生了变化，可能来自晶格旋转或弯曲。但颜色变化的视觉快慢取决于色键，不能直接当成每微米多少度。沿未被这张色图敏感表达的转动，真实错配也可能不明显。
若研究晶内转动，应继续输出 GROD、点到点错配或轴角曲线，并核对图样质量。若研究应力，需要 HR-EBSD 或其他适用方法；普通 IPF 色图并未直接测量弹性应变张量。
从文件到一张可解释 IPF 图的操作顺序
先在导入结果中核对相表、晶体对称、地图坐标和欧拉角约定；再明确 ND 是试样表面法向还是原板法向。如果测的是 RD–ND 截面，地图的屏幕法向通常是 TD，不能把软件默认 z 轴无条件称为 ND。
选择相后，指定 IPF direction；生成并保留相应色键；叠加独立定义的晶界；标出比例尺和试样轴；在图注中给出清理与晶粒分割参数。多相图应为不同晶体对称给出适当色键，或分别绘图，以免同一种颜色被误当作相同取向意义。
一项很值得做的纸面检查
设两粒晶体的 [001] 都平行 ND，其中第二粒绕 ND 比第一粒多转 30°。它们在 IPF-ND 中同色，却通常存在真实错配。立方情况下，30° 并不是可将这个差异完全消除的四重对称转角。
现在分别想象它们的 {111} 极图：四个极会绕图心转动。因此把 IPF-ND 与 PF 放在一起，就能看清单轴方向编码丢掉了什么。后面做宏区或滑移分析时，仍应使用完整取向信息。
来源与延伸阅读
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