织构分析：PF · IPF · ODF

从球面到纸面：极射、等面积和球心投影怎样推导

用一张球面截面图推出三种投影公式，分清保角、保面积与直线成像各自解决的问题。

基础8 min修订于 2026-10-24编辑责任：材相 Lab 编辑组

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先记住这三点

取单位球，北极为试样 +z，赤道面为 xy。球面方向用极角 θ 和方位角 ψ 表示：p=(sinθ cosψ,sinθ sinψ,cosθ)。θ 从北极开始量，ψ 在 xy 平面内从 +x 开始量。先只看上半球 0≤θ≤90°。

三种投影都把方位角 ψ 保留下来，区别在于离图心的半径 ρ 如何随 θ 变化。只要推导出 ρ(θ)，平面坐标就是 X=ρ cosψ、Y=ρ sinψ。先把问题降成一个穿过球心的二维截面，会比直接记三维公式容易。

南极 S=(0,0,−1)。连线写成 S+t(p−S)，它与赤道面相交时 z=−1+t(1+cosθ)=0，因此 t=1/(1+cosθ)。交点半径 ρ=sinθ/(1+cosθ)=tan(θ/2)。

检查三个位置：θ=0° 时 ρ=0，北极落图心；θ=90° 时 ρ=1，赤道落外圆；θ=60° 时 ρ≈0.577，并不是圆半径的 2/3。读极图时，离圆心的直线距离不能直接当成倾角百分比。

单位球从北极到 θ 的球冠面积为 A=2π(1−cosθ)，整个上半球面积为 2π。如果把上半球映到半径 1 的圆盘，要求面积分数相同：πρ²/π=A/(2π)=1−cosθ。于是 ρ=√(1−cosθ)=√2 sin(θ/2)。

θ=60° 时，等面积半径约为 0.707，比极射投影的 0.577 更靠外。两张图即使画同一批方向，点的位置也不一样；比较峰位置时应读角度网格和投影类型，不能直接叠加截图。

跟着推导 · 教学几何

固定晶体 [001] 看它指向试样哪里；再固定试样 ND，反问哪条晶体方向指向它。拖动三个角，观察哪一张图保持不变。

φ₁：绕试样 z 的角35°

Φ：中间转角55°

φ₂：绕晶体 z 的角20°

使用等面积投影（取消为等角投影）

PF：y = R [001]

IPF 的原始方向：h = Rᵀ ND

R = Rz(φ₁) Rx(Φ) Rz(φ₂)，晶体 → 试样

PF 向量 = (0.470, -0.671, 0.574)；IPF 向量 = (0.280, 0.770, 0.574)

r = tan(θ/2)；屏幕位置 = (r cosψ, r sinψ)

为什么改变 φ₂，左图不动？

绕晶体 [001] 自身旋转不改变该方向，所以单个极无法记录这一个自由度。右图在晶体坐标中记录 ND 的方向，会随 φ₂ 改变。反过来，绕试样 ND 的 φ₁ 不改变右图。这正是两种投影都丢失一项信息的几何原因。

只显示一个指定极及一个反向方向；右图为未按晶体对称折叠的方向圆盘，便于比较，不能当作标准 IPF 色键。均为几何示意。

把探测平面放在 z=1，沿方向 p 从球心出发。射线 t p 与平面相交要求 t cosθ=1，所以 ρ=tanθ。θ 越接近 90°，ρ 越大，说明一块有限平面无法覆盖整个半球。

球面的大圆在这种投影中映成直线，因为大圆所在的平面经过球心，它与探测平面的交线就是直线。这解释了 EBSD 图样中晶面大圆轨迹为何能表现为近似直的带中心线，也解释了 Hough 变换为什么可以用于带检测。

极射投影局部保角，适合晶体几何作图，但不保面积；等面积投影保持立体角区域的相对面积，但形状和角度会变形；球心投影把大圆映成直线，但边缘畸变更强。没有一种投影同时把所有球面几何性质都原样带到平面。

所谓“极图上这一块颜色面积占 20%”，如果没有说明投影和密度积分，通常不能解释成有 20% 晶粒。即使使用等面积投影，PF 上的区域份额也是特定极的方向份额，还没有自动变成完整取向组分的体积分数。

球面面积元是 dΩ=sinθ dθ dψ。可以把一个小单元想成纬向宽度 sinθ dψ 乘上经向高度 dθ。靠近北极，相同 ψ 间隔对应的纬线弧很短；靠近赤道则很长。

所以等 θ、等 ψ 网格上的点不能等权平均以代表整个球面。离散积分应给每个单元相应的立体角权重，例如 ΔΩ≈sinθ ΔθΔψ，极点附近则使用单元的精确边界积分更稳妥。图上的颜色密度应由方向空间的归一化决定，再投影显示。

一组晶面有 ±n 两个法向。在常见的非极性、Friedel 对称处理下，往往把两个相反极当作等价，并折到一个半球。可是某些极性、非中心对称或特定衍射问题需要保留正负方向。此时“上下半球合并”是一个有物理前提的操作。

读文献时核对 antipodal、upper/lower hemisphere、stereographic/equal-area 等说明。如果图中峰似乎突然跳到外圆对侧，先检查半球折叠与坐标约定，不要立即解释成取向发生了 180° 的真实转动。

取方向 θ=60°、ψ=30°。极射投影得到 ρ≈0.577，X≈0.500、Y≈0.289；等面积投影得到 ρ≈0.707，X≈0.612、Y≈0.354；球心投影得到 ρ≈1.732。三个点代表同一个空间方向。

在本专题的投影演示中改变中间转角 Φ，比较等角与等面积两种半径；球心投影可用 tanθ 单独手算。再回到实验图，检查图心代表什么、两条直径对应哪些试样方向、有没有网格和投影标签。做到这一步，才开始讨论极密度峰的位置和展开角。

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