织构分析：形变理论推导
Taylor 与 Bishop–Hill：最小滑移功为什么等于最大应力功
将多滑移写成线性约束，推导最小耗散与屈服面支持函数的对偶关系，并用 FCC 〈001〉拉伸做一个能手算到结果的例子。
先记住这三点
- 五个独立应变分量是线性代数维数，不是每颗晶粒永远只开五个滑移系。
- Taylor 与 Bishop–Hill 从不同未知量求同一个凸优化问题。
- Taylor 因子依赖载荷、取向、滑移集合和约束条件。
先写出要满足的五个约束
小增量或率形式中，塑性应变率 D 为对称张量，共六个独立分量。无孔洞的滑移塑性近似满足 trD=0，所以只剩五个。第 α 个滑移系贡献 Pᵅ=(sᵅ⊗nᵅ+nᵅ⊗sᵅ)/2，要求 Σγ̇ᵅPᵅ=D。把五个独立分量排成列，就得到 Aγ̇=d。
要能适应任意三维等体积形变，候选 Pᵅ 必须张成五维空间，即 A 的秩为 5。五条不同名字的滑移系也可能线性相关。反过来，一个特定简单剪切只需要一条系便可完成，不需要为了满足“五个”再强行开启四条。对 FCC 常用十二个 {111}〈110〉系；BCC 或 HCP 的候选集合需要另行说明。
从剪切功推出原问题
理想率无关、双向滑移、给定临界剪切应力 τcᵅ 时，单系塑性功率为 τcᵅ|γ̇ᵅ|。Taylor 全约束令每颗晶粒的 D 都等于宏观 D，于是对每颗晶粒解：最小化 W=Στcᵅ|γ̇ᵅ|，约束 Σγ̇ᵅPᵅ=D。这并不是把最大的 Schmid 因子倒数相加，而是在所有能够完成指定形变的滑移组合中选最小耗散。
为看清它为什么是线性规划，令 γ̇ᵅ=uᵅ−vᵅ，uᵅ、vᵅ≥0，目标变成 Στcᵅ(uᵅ+vᵅ)。最优解不需要让同一系正反两向同时无意义地抵消；那只会增加功而不改变 D。硬化或不同滑移族使 τcᵅ 不同，最小功就不再等价于最小总剪切。
把应力作为拉格朗日乘子
用对称应力 σ 乘约束，构造 L=Στcᵅ|γ̇ᵅ|+σ:[D−Σγ̇ᵅPᵅ]。整理成 L=σ:D+Σ[τcᵅ|γ̇ᵅ|−(σ:Pᵅ)γ̇ᵅ]。若某系 |σ:Pᵅ|>τcᵅ，让该 γ̇ 沿合适符号无限增大，L 就可趋向负无穷。因此有限下界要求每一系都满足 |σ:Pᵅ|≤τcᵅ。
满足这些不等式后，每个括号的最小值为零，剩下的对偶问题是：在全部滑移屈服约束内，最大化 σ:D。也就是在晶体屈服多面体中找到对给定 D 做功最大的应力。静水应力不影响 σ:Pᵅ，因为 trPᵅ=0；可固定 trσ=0 消除这一个自由度。
最小与最大为什么没有矛盾
任取可行滑移组合和可行应力，都有 σ:D=Σγ̇ᵅ(σ:Pᵅ)≤Στcᵅ|γ̇ᵅ|。左边是任何可行应力能达到的功，右边是任何可行滑移需要的功，这个不等式先给出弱对偶。在有限、可行的线性规划条件下存在使二者相等的最优解，这就是此处的强对偶。
相等还告诉我们活动条件：若 γ̇ᵅ>0，则 σ:Pᵅ=τcᵅ；若 γ̇ᵅ<0，则 σ:Pᵅ=−τcᵅ；未活动系允许严格小于临界值，也可恰好在临界面上。Bishop–Hill 的应力空间方法由此与 Taylor 的滑移空间方法连起来。它们不是一个主张材料浪费功、另一个主张节约功。
手算 FCC 〈001〉单轴拉伸的可行解
取拉伸轴 e₃=[001]，要求 D=ε̇diag(−1/2,−1/2,1)，十二个 FCC 系采用共同 τc。先取四个系 s=(a,0,1)/√2、n=(−a,b,1)/√3，其中 a、b 各为 ±1；再取四个系 s=(0,a,1)/√2、n=(b,−a,1)/√3。每个向量对都满足 s·n=0，且属于 {111}〈110〉。
令这八个系同取 γ̇=√6 ε̇/8。对称求和消掉全部非对角元；前四个系总和的对角元为 γ̇diag(−4,0,4)/√6，后四个为 γ̇diag(0,−4,4)/√6。加起来正好等于指定 D。总剪切为 8γ̇=√6 ε̇，所以这一可行解的功为 √6 τc ε̇。
再用对偶证明它确实最优
取 σ=diag(0,0,√6τc)。上面八个系都有 s₃n₃=1/√6，故分解剪应力恰为 τc；其余系的分解剪应力不超临界值，因此此应力可行。应力功 σ:D=√6τc ε̇，恰好等于刚才滑移解的功。弱对偶两端相等，最优性已经得到证明，不需要再枚举所有组合。
以轴向塑性应变率 ε̇ 定义 M=Σ|γ̇ᵅ|/ε̇，就得 M=√6≈2.449。此例用八个活动系表示对称解，不违背五维独立约束；最优解可能退化、有等价表示。这个结果属于指定 FCC 理想单晶全约束算例，不是所有 FCC 多晶、所有方向都采用的固定常数。
多晶平均和模型边界怎样写
对具有体积权重 wᵢ 的代表晶粒，分别旋转滑移系并求 Wᵢ，再取 W̄=ΣwᵢWᵢ，Σwᵢ=1。共同 τc 且同一功共轭应变定义下，M̄=W̄/(τc ε̇)。连续形式用 ∫M(R)f(R)dμ，说明 ODF 如何真正进入计算。
全约束提供运动学可容许的平均耗散估计，并在相应刚塑性理论条件下构成上界；它不逐条满足真实晶界牵引平衡。Sachs 采用均匀应力，放松相容要求。讨论模型好坏应比较其假设与目标，不要把一组拟合较好的 ODF 直接当成所有局部应力已被证明正确。
来源与延伸阅读
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