织构分析：形变理论推导
从滑移位移到晶格转动：把塑性运动学推一遍
从一层材料相对另一层的位移写出滑移张量，区分形状变化、材料线转动与 EBSD 晶格取向变化，并完成一个有限剪切算例。
先记住这三点
- 滑移方向是单位向量；剪切量与 Burgers 矢量长度不能混作同一个量。
- 对称与反对称部分分别给出应变率和自旋；材料线转动不等于晶格旋转。
- 有限变形要先写乘法分解，再在明确条件下采用小弹性应变近似。
从一张纸上的几何开始
取单位滑移方向 s、单位面法向 n，满足 s·n=0。在两平行滑移面之间，间距为 h；若上层相对下层移动 γh，γ 就是无量纲工程剪切。距原点法向距离为 n·X 的材料点，位移为 u(X)=γs(n·X)。逐分量求导得到 ∂uᵢ/∂Xⱼ=γsᵢnⱼ，因而 Fᵖ=I+γs⊗n。外积的第 i 行第 j 列就是 sᵢnⱼ；这一步是书中式 5-8 与式 5-11 的共同来源。
书中此处用 b 表示单位滑移方向。为了不与后面 GND 章节里具有长度单位的 Burgers 矢量混淆，这里统一写 s。如果想从位错运动获得 γ，还需要滑移位错数、滑过面积或 Orowan 关系等信息；仅知道 Burgers 矢量长度并不能确定 γ。
为什么纯滑移不改变体积
用矩阵行列式引理 det(I+a⊗b)=1+b·a，令 a=γs、b=n，便有 detFᵖ=1+γn·s=1。几何上是上下层错开了位置，底面积与高度的乘积没有变化。这个单滑移结论对有限 γ 仍成立。
多滑移的瞬时速度梯度写 Lᵖ=Σγ̇ᵅsᵅ⊗nᵅ，故 trLᵖ=Σγ̇ᵅsᵅ·nᵅ=0，进一步由 d(ln detFᵖ)/dt=trLᵖ 得塑性体积守恒。有限时间内不同滑移增量一般不能直接相加成 Fᵖ=I+Σγᵅsᵅ⊗nᵅ，因为先后剪切可能不交换；线性叠加适用于瞬时率或足够小的增量。
应变与转动怎样从同一矩阵分开
将 Lᵖ 拆成 Dᵖ=(Lᵖ+Lᵖᵀ)/2 与 Wᵖ=(Lᵖ−Lᵖᵀ)/2。单系给 Dᵖᵢⱼ=γ̇(sᵢnⱼ+nᵢsⱼ)/2；对角元为 γ̇sᵢnᵢ，非对角元有二分之一。工程剪切率是 2Dᵖᵢⱼ，不能将它再当作张量分量代回功率公式。Wᵖ 则是反对称矩阵，描述该滑移所带来的塑性自旋。
取 s=e₁、n=e₂，则 Lᵖ₁₂=γ̇，其余为零；Dᵖ₁₂=Dᵖ₂₁=γ̇/2，而 Wᵖ₁₂=γ̇/2、Wᵖ₂₁=−γ̇/2。读者可以画一个正方形：它变成平行四边形，既改变夹角，也含转动成分。只保留 Dᵖ 会漏掉取向更新所需的信息。
一条材料线的有限剪切算例
还是取 F=I+γe₁⊗e₂，初始材料线 a=e₂。变形后 Fa=(γ,1,0)，长度比为 √(1+γ²)，单位方向为 a′=(γ,1,0)/√(1+γ²)。与原方向的夹角为 arctan|γ|。当 γ=0.2 时，长度比约 1.0198，转角约 11.31°。这是课堂几何算例，不是 EBSD 实验记录。
一般方向的精确更新应写 a′=Fa/||Fa||。若 γ 很小，长度增量近似 a·εa，于是分母可近似 1+a·εa，这解释了书中式 5-12 的形式。大剪切时继续使用线性长度近似，会使更新后的向量不再严格为单位向量。晶面法向则由 F⁻ᵀn 更新，因为它必须继续垂直于变形后的面内材料线。
把书中的转角导数重新求出来
对单位材料线 a 使用 F=I+γs⊗n，再对 Fa/||Fa|| 在 γ=0 处求导，得到 da′/dγ=(n·a)[s−(s·a)a]。右侧垂直于 a，所以小转角的大小率为 |dθ/dγ|=|n·a|√[1−(s·a)²]。令 a=e₁，就成为 |n₁|√(1−s₁²)，对应书中拉伸几何的转角率形式；正负号由所选有向转动约定决定。
对单位法向 c，先用 F⁻ᵀ 再归一化，类似得到 dc′/dγ=−(s·c)[n−(n·c)c]。令 c=e₃，其转角大小率是 |s₃|√(1−n₃²)，这解释压缩几何中方向余弦交换位置的原因。这里严格推导的是材料线与材料面法向的运动；只有进一步说明试样约束和参考系，才能将相应反向转动解释为晶格相对载荷轴的旋转。
EBSD 跟踪的是哪一种转动
总变形写 F=FᵉFᵖ。对时间求导并右乘 F⁻¹，有 L=ḞF⁻¹=ḞᵉFᵉ⁻¹+FᵉLᵖFᵉ⁻¹。这是精确运动学恒等式。Fᵉ 内既有弹性伸缩，也有晶格旋转；EBSD 取向对应晶格相对试样的方位，不等于上节任意材料标记线的方向。
当弹性伸缩很小、Fᵉ≈R 时，塑性速度梯度被旋到试样系，晶格自旋近似 Ω=ṘRᵀ≈W−RWᵖRᵀ。若滑移向量已经在试样系表达，就写 Ω≈W−Wᵖ。这个减号解释了宏观无旋转的轧制中仍会出现晶粒转动。不能一边使用晶体系 s、n，一边忘掉两侧的 R。
从一个增量走向织构模拟
给定初始 R、宏观 L 和滑移规则，先把滑移系变到同一参考系，求各 γ̇ᵅ；再组装 Lᵖ、计算 Ω，最后用 Rnew=exp(ΩΔt)R 更新。Ω 的反对称性保证矩阵指数为旋转，因而 RnewᵀRnew=I 且 detRnew=1。简单的 Rnew=(I+ΩΔt)R 只有一阶精度，长时间直接累加会产生非正交漂移。
真实模拟还要更新硬化、载荷与滑移系方向。书中将取向空间离散为代表晶粒、逐增量更新、再重新统计 ODF 的思路可以保留，但代表取向必须按 Haar 体积取样或赋正确权重，不能把等间距 Euler 网格误当成等概率晶粒。
怎样与真实 EBSD 变形研究接起来
铜拉伸的 HR-EBSD 案例说明，塑性变形后既可讨论晶格转动的空间变化，也可讨论由曲率约束的 GND。沿同一条链条看：滑移组合影响晶格自旋，空间上不均匀的晶格自旋积累为取向梯度，取向梯度又提供部分位错约束。每一箭头都有条件，不能从最后一张取向图唯一恢复整个滑移历史。
实际分析要分别保留总应变、晶格取向、弹性应变和空间梯度四个对象。检查自己能否解释：为什么试样伸长 10% 不代表晶格弹性伸长 10%；为什么同一最终取向可以来自不同滑移路径；为什么一条表面滑移迹线也不能给出完整 Lᵖ。能答清这三点，再进入 Taylor 或 GND 模型会顺畅得多。
来源与延伸阅读
以下链接用于核对概念、标准状态或原始文献。本页为中文教学整理，不复制受版权保护的标准正文。