织构分析：数学准备
推导前的数学桥梁：从点积、矩阵到积分、梯度和约束
把后面会反复用到的数学操作从几何意义讲起；遇到新符号时能辨认它是什么对象、怎样算、为什么有用。
先记住这三点
- 先辨认标量、向量、矩阵和函数，再决定它们能够怎样相乘。
- 积分是带正确小体积的求和，求导是局部变化率。
- 反问题中的未知数、方程数和独立约束需要分别判断。
先区分对象和坐标
标量只有一个值，例如面积 A 或错取向角 ω；向量同时有大小和方向，例如晶面法向 n；矩阵可以代表线性映射，例如把晶体坐标转到试样坐标的 R。向量的三个分量依赖所选坐标系，真实几何方向并未因此改变。
本课程用列向量。R 为 3×3，v 为 3×1，所以 Rv 是 3×1；vᵀR 是 1×3。矩阵相乘时内侧维度必须相同。只有确定“右边输入，左边输出”，才能判断一个公式把哪一坐标变到了哪一坐标。
点积、叉积、外积，各解决什么
点积 a·b=Σaᵢbᵢ=|a||b|cosθ 是标量。它用来测量一个向量沿另一方向有多少分量；单位向量点积就是夹角余弦。叉积 a×b 垂直于二者，长度为 |a||b|sinθ，因此可找两个不平行平面的交线。
外积 a⊗b 是矩阵，元素为 aᵢbⱼ。它作用于 v 得 (a⊗b)v=a(b·v)：先取 v 沿 b 的分量，再把它放到 a 的方向。因此滑移形变 I+γs⊗n 表示不同面间距离导致沿 s 的相对位移；Nye 张量中的 b⊗t 则同时记下 Burgers 方向和位错线穿过面的方向。
转置、逆、正交为什么反复出现
转置 Aᵀ 将行列互换；逆 A⁻¹ 撤销 A 的作用，只有可逆时才存在。长度保持的旋转满足 |Rv|²=vᵀRᵀRv=vᵀv，对所有 v 都成立，因此 RᵀR=I，也就有 R⁻¹=Rᵀ。还要 detR=+1，才能排除镜像反射。
对一般晶格基矩阵 A，它的列可能不正交，Aᵀ并不是 A⁻¹。方向使用 Au，法向使用 A⁻ᵀh，恰好保证 (A⁻ᵀh)·(Au)=h·u。这个等式保持面与方向的垂直关系，是倒易基出现的原因。
迹和特征值怎样帮助理解取向
矩阵迹 trA=ΣAᵢᵢ。旋转矩阵有一条不动轴，对应特征值 1；在垂直轴的平面里，是一个二维转动，其迹为 2cosω，所以 trR=1+2cosω。这给出常用的旋转角公式。零角时所有方向都不动，旋转轴因此不唯一。
特征问题 Av=λv 寻找作用后仍平行于原方向的向量。以中心化坐标协方差定义的晶粒形状二阶矩，其最大特征值方向表示最伸长的轴（不要与力学惯性矩阵的排序混用）；四元数均值矩阵的最大特征向量代表相应二次目标的最优方向。名称相同并不意味着物理量相同，先看矩阵是怎样构成的。
求和变积分，需要保留哪项权重
离散面积平均为 ΣAᵢqᵢ/ΣAᵢ。把区域切得越来越细，得到 ∫q(x)dA/∫dA。若在等面积网格上每格 Aᵢ相同，可以直接平均；若格子面积不同，直接平均就换了统计问题。
概率密度 f 也必须乘小体积：某区域比例为 ∫Ωf dμ。在球面上，小方位宽 dφ 对应的纬线弧长为 sinθ dφ，乘经向宽 dθ，得 dΩ=sinθ dθdφ。靠近极点的同样角度格子面积更小。ODF 的 sinΦ 体积元正由这条几何关系与第三个转角组合而来。
变量代换与 Jacobian 不是额外装饰
设 x=r cosφ、y=r sinφ。一个小径向边 dr 与小圆周边 r dφ 组成面积约 r drdφ，所以平面面积 dxdy 变为 r drdφ。r 是此处变量变换的 Jacobian 绝对值。漏掉它就会把靠近原点的小格与远处大格等量计算。
球面、欧拉角空间和 Rodrigues 空间都有各自体积元。只把坐标值转换过去，却仍沿用旧的分箱权重，会改变“均匀”与“百分比”的含义。推导时可以先算一个小几何区域的体积，再用总积分归一化检查常数。
导数、梯度与差分，分别是什么
标量 f(x) 的导数 df/dx 表示局部斜率；多维梯度 ∇f 的第 j 分量是 ∂f/∂xⱼ。若 θ 是旋转向量，则 κᵢⱼ=∂θᵢ/∂xⱼ 是矩阵：行标识哪一旋转分量，列标识沿哪一空间方向变化。
对间距 h 的采样，中心差分为 [θ(x+h)−θ(x−h)]/(2h)，来自两侧 Taylor 展开中偶次项相消。它只是导数的近似，需要足够光滑和相容的取向代表。噪声也被除以 h，所以缩小步长同时改变分辨率和导数噪声，不能只看一个好处。
为什么有位错时会出现旋度
对平面向量场 v，绕边长 Δx、Δy 的小矩形积分，左右边的差约为 (∂vᵧ/∂x)ΔxΔy，上下边的差约为 −(∂vₓ/∂y)ΔxΔy。相加再除以面积，得到旋度的 z 分量 ∂vᵧ/∂x−∂vₓ/∂y。
把小回路拼起来，内部边彼此抵消，只剩外边界，就得到 Stokes 定理。对光滑单值位移的梯度，混合二阶导数相等，因此 curl∇u=0。弹性与塑性畸变的旋度必须互相补偿；这就是从 Burgers 回路进入 Nye 张量的数学桥梁。
矩阵求解为何不一定唯一
方程 Ax=b 中，若存在非零 z 满足 Az=0，那么 x 和 x+z 给出同一 b。所有这样的 z 构成零空间。方程条数很多也不保证唯一：重复测同一方程没有增加独立信息，决定独立约束的是矩阵秩。
最小二乘 min||Ax−b||² 选择使残差小的解；正则项 λ||Lx||² 再偏好某类平滑或小幅解。非负约束能排除部分解，但不保证消除全部零空间。PF 反演、GND 位错分解和母相候选都要分别问数据约束了什么、附加原则选择了什么。
约束极值怎样读，不必一开始背定理
先看 min(x²+y²)，条件 x+y=c。直接代 y=c−x，求导 2x−2(c−x)=0，得 x=y=c/2。也可写 L=x²+y²−λ(x+y−c)，分别对 x、y 求导，得 2x=λ、2y=λ，再代回约束。λ 表示维持约束所需的共同代价。
Taylor 模型把滑移量作为未知数，把规定塑性应变作为约束，把滑移耗散作为代价；Bishop–Hill 的应力形式则从对偶角度表达同一功的界限。先理解这个两变量例子，再进入多个滑移系，就容易看见目标函数与协调条件分别扮演什么角色。
每次推导最后做三项检查
先查量纲，例如 α=Σρ b⊗t 中 ρ 为 m⁻²、b 为 m、t 无量纲，所以 α 为 m⁻¹；若结果单位不对，先查长度单位和角度是否使用弧度。再查极限：随机 ODF 应归一到 1，零转角应给单位矩阵，平行面的叉积应为零。
最后用一个可手算情形检查符号与方向。把它与实验验证分开：一个公式通过量纲和简单极限，并未证明材料满足其近似条件；但如果连这些检查都不通过，就不能可靠解释复杂地图。
来源与延伸阅读
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