织构分析：晶体学推导
从晶格基矢推到晶面法向：Miller 指数、倒易基与六方四指数
一步步从位置向量和点积推出晶面法向、面间距与晶带定律，解释为什么六方指数不能直接当作直角坐标。
先记住这三点
- 晶向使用实空间基矢，晶面法向使用倒易基矢。
- 指数是基底下的系数，只有特定正交情形才能直接当笛卡尔分量。
- 先转换为物理向量，再求角度、Schmid 因子或滑移迹线。
起点：三个基矢组成一把空间尺子
用 a、b、c 表示晶胞的三个基矢，它们既有长度，也有夹角。晶格方向 [u v w] 的一个向量写成 r = u a + v b + w c。把三个基矢按列组成矩阵 A，则 r = A u，其中 u 是列向量 (u,v,w)ᵀ。
这一步区分了两件事：u 是指数坐标，r 是正交实验室坐标中的真实向量。如果 a、b 不垂直，那么 [1 1 0] 的长度不能写成 √2。真正的长度是 |a+b|，它还取决于 a 与 b 的夹角。
第一步：把点积写成可以计算的形式
对两个指数向量 u、v，有 rᵤ·rᵥ = (Au)ᵀ(Av) = uᵀAᵀAv。定义 G=AᵀA，得到 cosθ = (uᵀGv)/√[(uᵀGu)(vᵀGv)]。G 称为度量张量，它只是把晶胞长度和夹角集中放进一个矩阵。
例如 G₁₂=a·b=ab cosγ，而 G₁₁=a²。立方晶胞有 a=b=c、三个夹角都是 90°，于是 G=a²I，公共因子抵消，才得到熟悉的指数点积公式。先看到这个条件，就不会把立方晶体的快捷公式误用到 HCP。
第二步：从平面方程得到倒易基
用分数坐标 x 表示位置 r=Ax。一族晶面可写为 h x₁+k x₂+l x₃=m，其中 m 是整数。令 q=(h,k,l)ᵀ，把 x=A⁻¹r 代入，就有 qᵀA⁻¹r=m，即 (A⁻ᵀq)·r=m。
因此 n*=A⁻ᵀq 垂直于这族晶面。矩阵 A⁻ᵀ 的三列就是倒易基 a*、b*、c*，满足 a*·a=1、a*·b=0 等关系。几何上 a*=(b×c)/[a·(b×c)]，另外两式循环交换。这里明确采用不带 2π 的定义。
第三步：为什么面间距等于倒易向量模长的倒数
沿单位法向 n=n*/|n*| 从第 m 个平面移动距离 d，要求新位置落在第 m+1 个平面。代入平面方程：n*·(r+d n)−n*·r=1，左边等于 d|n*|，所以 dₕₖₗ=1/|n*|。
这不是需要硬背的经验式，而是相邻平面方程右端相差 1 的结果。再把 n*=A⁻ᵀq 代回，可得 1/d²=qᵀG⁻¹q。立方晶体由此得到 d=a/√(h²+k²+l²)。采用带 2π 的倒易基时，相应关系是 d=2π/|n*|，两种约定不能混算。
六方晶体：把 120° 放进计算
取 a₁=a(1,0,0)、a₂=a(−1/2,√3/2,0)、c=c(0,0,1)。此时 G 的基面部分为 a²[[1,−1/2],[−1/2,1]]。求逆后代入上式，得到 1/d²=4(h²+hk+k²)/(3a²)+l²/c²。
例如取教学用参数 a=0.295 nm、c=0.468 nm，(0002) 的 d=c/2=0.234 nm；(10−10) 对应三指数 (100)，d=√3 a/2≈0.2555 nm。这里的数值只是演算，实际合金应使用对应成分、温度和来源的晶格参数。
四指数为什么有一个看起来多余的数
六方晶体在基面引入第三根等价轴 a₃=−a₁−a₂，便于把三条等价方向写得对称。晶面 (h k i l) 满足 i=−h−k；晶向 [u v t w] 满足 t=−u−v。两者的转换不同，因为晶面和晶向使用不同的基。
晶向 r=u a₁+v a₂+t a₃+w c=(u−t)a₁+(v−t)a₂+w c。因此三指数 [U V W] 与四指数之间满足 U=u−t、V=v−t、W=w，解得 u=(2U−V)/3、v=(2V−U)/3、t=−(U+V)/3，最后整体化为整数。例如 [100]→[2 −1 −1 0]。晶面则是 (h k l)→(h k −h−k l)，不能照搬晶向公式。
晶带定律：检查一个方向是否在一个面内
一个方向落在平面内，意味着沿该方向移动时平面方程不变，即 n*·r=0。在三指数下这正是 hu+kv+lw=0；六方四指数的相应形式为 hu+kv+it+lw=0。
因此，为滑移系配对时，先检查面与方向是否满足晶带定律，再用实际基矢求单位法向和单位滑移方向。写出 {10−10} 和 ⟨11−20⟩ 两个族，并不意味着其中任何成员可以随意配成一个滑移系。合法配对还需要同处一个面内。
把推导用于 EBSD，而不是停在纸面上
从相文件记录 a、b、c、夹角和晶体轴设置；用实基生成滑移方向，用倒易基生成晶面法向；分别归一化；最后通过取向矩阵旋转到试样系。这四步完成后，才能与加载方向、表面法向、实验迹线做点积或叉积。
常见错误是把 HCP 的 [h k i l] 四个数截成三个数直接算角度，或把 (hkl) 与 [hkl] 当作永远垂直。前面的推导给出了一个统一检查办法：任何计算最后都应回到真实向量，面内方向与面法向的点积应为零。
来源与延伸阅读
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