织构分析：晶体学推导
取向矩阵与欧拉角：亲手把一个晶向从晶体系转到试样系
从基向量投影构造旋转矩阵，再推导 Bunge 欧拉角组合、逆变换与取向差，为 PF、IPF 和滑移分析建立共同坐标。
先记住这三点
- 本课程用 R 把晶体笛卡尔向量映到试样系：rₛ=Rr𝚌。
- 逆变换是 Rᵀ；书中 Bunge 的试样到晶体矩阵常记为 g=Rᵀ。
- 不能直接相减欧拉角求错配角，也不能逐项平均欧拉角求晶粒均值。
先约定方向，否则正确矩阵也会被用反
设试样右手正交系为 x=RD、y=TD、z=ND，晶体系也选一套右手正交基。注意 HCP 的三个晶胞基矢不全正交，上一章已说明如何先转成正交物理向量。定义 R 将晶体向量变到试样系：rₛ=Rr𝚌。
Engler、毛卫民等采用的 Bunge 书写常用 g 将试样坐标变到晶体坐标。对同一个物理取向，g=R⁻¹=Rᵀ。看到两个软件给出的矩阵互为转置，先检查映射方向，不要立刻认为有一个软件错了。
第一步：矩阵的每一列到底是什么
把晶体单位轴 e₁、e₂、e₃ 分别放到试样系中，记为 r₁、r₂、r₃。任意晶体向量 v=v₁e₁+v₂e₂+v₃e₃ 转换后为 v₁r₁+v₂r₂+v₃r₃，所以 R=[r₁ r₂ r₃]。矩阵每列就是一条晶体轴在试样系中的分量。
刚体转动不改变长度和夹角，因此每列长度为 1、不同列点积为 0，得到 RᵀR=I。右手系转到右手系还要求 detR=+1；detR=−1 含反射，不能当作普通晶体旋转。九个元素受这些条件约束，最终只剩三个独立自由度。
第二步：一个 90° 转动算例
让晶体绕试样 z 轴按右手定则转 90°。原来的 [100] 指向试样 +y，[010] 指向 −x，[001] 保持 +z，于是 R=[[0,−1,0],[1,0,0],[0,0,1]]。将 [100] 的向量 (1,0,0)ᵀ 左乘 R，结果为 (0,1,0)ᵀ。
反过来问“试样 +x 对应晶体哪个方向”，要算 Rᵀ(1,0,0)ᵀ=(0,−1,0)ᵀ。这两个问题分别是 PF 和 IPF 的几何基础。它们不是把同一张图简单镜像，而是固定的对象换了。
跟着推导 · 教学几何
PF 与 IPF：正向与反向映射
固定晶体 [001] 看它指向试样哪里；再固定试样 ND，反问哪条晶体方向指向它。拖动三个角，观察哪一张图保持不变。
R = Rz(φ₁) Rx(Φ) Rz(φ₂)，晶体 → 试样
PF 向量 = (0.470, -0.671, 0.574)；IPF 向量 = (0.280, 0.770, 0.574)
r = tan(θ/2)；屏幕位置 = (r cosψ, r sinψ)
为什么改变 φ₂，左图不动？
绕晶体 [001] 自身旋转不改变该方向，所以单个极无法记录这一个自由度。右图在晶体坐标中记录 ND 的方向，会随 φ₂ 改变。反过来，绕试样 ND 的 φ₁ 不改变右图。这正是两种投影都丢失一项信息的几何原因。
只显示一个指定极及一个反向方向；右图为未按晶体对称折叠的方向圆盘，便于比较，不能当作标准 IPF 色键。均为几何示意。
第三步：把三次基本转动组合成欧拉角
采用 Bunge 的 ZXZ 顺序。先绕 z 转 φ₁，再绕转动后的 x 轴转 Φ，最后绕新的 z 轴转 φ₂。对于本文的晶体到试样映射，可以写 R=Rz(φ₁)Rx(Φ)Rz(φ₂)。矩阵作用在列向量上，乘法次序必须与所声明的内禀旋转约定一起理解。
其中 Rz(α)=[[cosα,−sinα,0],[sinα,cosα,0],[0,0,1]]，Rx(β)=[[1,0,0],[0,cosβ,−sinβ],[0,sinβ,cosβ]]。先乘后两项，再乘第一项，就得到完整矩阵。试着只计算第三列，会得到 (sinφ₁ sinΦ,−cosφ₁ sinΦ,cosΦ)ᵀ；它告诉你晶体第三轴在试样系中的方向。
第四步：为什么欧拉角有奇点
当 Φ=0 时，Rx 变为单位矩阵，R=Rz(φ₁+φ₂)。例如 (10°,0°,20°) 和 (0°,0°,30°) 描述同一转动。此时 φ₁ 与 φ₂ 不能分别确定，却不代表晶体取向本身不存在。
这叫参数化奇点。类似地，359° 和 1° 两个绕同一轴的小范围方向，其均值应靠近 0°，普通算术平均却得到 180°。在一般晶体中还存在对称等价取向，所以平均取向要在旋转空间和对称性下求中心，不能对欧拉角三列直接求平均。
轴角与四元数为什么有用
任意普通三维旋转都能写成绕单位轴 a 转角 θ。它的矩阵迹满足 trR=1+2cosθ，所以 θ=arccos[(trR−1)/2]。数值计算中应将括号内的浮点结果限制在 [−1,1]，避免舍入误差使反余弦失效。接近 0° 或 180° 时，求轴也需要专门处理。
四元数写作 q=(cos(θ/2), a sin(θ/2))，四个数满足单位长度约束。q 与 −q 描述同一旋转。它减少欧拉角奇点带来的麻烦，常用于插值、平均和优化；但晶体对称等价仍然要处理，并不是换一种表示就自动解决。
从两个取向得到错配旋转
两晶粒取向为 R₁、R₂，均从各自晶体参考系映到同一试样系。将晶粒 1 的晶体坐标先映到试样，再映到晶粒 2 的晶体参考坐标，得到 Δ=R₂ᵀR₁。它的角度可以由迹公式求出。
然而晶体坐标轴不是唯一标签。对每个晶粒都可以选一个晶体对称等价表示。因此实际常报告的 disorientation 是在允许对称组合中取最小角。下一章会展开这个最小化过程；本章先记住“矩阵组合，再做对称约化”，不要用欧拉角相减取代它。
操作时最有效的三个检查
检查一：把一个已知晶向转到试样系，看是否与实验标记或可识别晶面一致。检查二：将结果乘逆矩阵，应该回到原方向。检查三：核对图像是否上下翻转、试样坐标是否改变，以及取向是否同步变换。旋转地图显示窗口与旋转材料取向是两种操作。
实际研究中应保存 RD、TD、ND 的定义、截面、图像坐标箭头、欧拉角约定及软件导入选项。仅写“使用 Bunge 欧拉角”仍不够，因为数据导出时可能采用不同的地图轴和显微镜坐标。Britton 等的坐标教程可用于逐项核查。
来源与延伸阅读
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