EBSD 实操：索引与结构识别
从 Hough 投票到球面索引：取向为什么会算错，怎样核对
逐步推导直线积分、两组基架配准、归一化匹配与球面相关，并用有序相、石英手性和重叠花样说明适用范围。
先记住这三点
- Hough与取向拟合
- 字典和球面谐波相关
- 伪对称、极性和候选检验
1. Hough 变换到底把什么变成了峰
图像坐标为(x,y)，用法线方向ω和到原点距离ρ表示直线：xcosω+ysinω=ρ。Radon积分可写H(ρ,ω)=∫∫I(x,y)δ(ρ−xcosω−ysinω)dxdy；离散Hough则把落在同一候选直线附近的像素累加。沿一条亮带积分，许多亮像素集中到同一个参数邻域，故产生峰。合法参数范围可取−R≤ρ≤R、0≤ω<π，R为图像覆盖半径。
手算三点(1,0)、(1,1)、(1,2)：在ω=0时它们都给ρ=1，因此同一参数处累加三个贡献；在ω=π/2时ρ分别为0、1、2，不形成同样集中的峰。宽带使峰变宽并带有特定形状，因此卷积掩膜尺寸应匹配带宽。掩膜太窄或Hough网格太粗可能漏掉结构关键带；提高索引率时应检查究竟新增了真实反射，还是把背景纹理当成带。
2. 两条不平行法向怎样决定一个旋转
先考虑无噪声、两组夹角一致且已正确选择带对应和正负代表的理想情形：晶体单位法向h₁、h₂及探测器法向n₁、n₂。先构晶体正交基：e₁=h₁，e₂=[h₂−(h₁·h₂)h₁]/sinα，e₃=e₁×e₂，α为两法向夹角；探测器用相同方法得f₁、f₂、f₃。令E=[e₁ e₂ e₃]、F=[f₁ f₂ f₃]，则R=FEᵀ。因为R把三个e基向量分别送到f，故能将全部晶体方向变到探测器。
例：h₁=(1,0,0)，h₂=(0,1,0)；n₁=(0,1,0)，n₂=(−1,0,0)。E=I，F各列为(0,1,0)、(−1,0,0)、(0,0,1)，得到绕z正转90°。实际带的(hkl)未知，法向又有正负和晶体对称等价，因此两条带几何通常不足以唯一索引；第三条及更多带用于排除候选和抗噪声，而不是改变刚体旋转只需三个自由度这个事实。
3. 多条带的最小二乘与置信度
在带对应关系和法向正负代表均已固定后，可最小化Σwᵢ|nᵢ−Rhᵢ|²，要求RᵀR=I、detR=1。展开平方后，只有−2ΣwᵢnᵢᵀRhᵢ与R有关。对B=Σwᵢnᵢhᵢᵀ做SVD，B=UΣVᵀ，最优旋转为R=U diag(1,1,det(UVᵀ))Vᵀ。最后一个行列式修正阻止反射矩阵冒充旋转。接近共线的带组对某些旋转方向约束很弱，更多近乎重复的带不一定增加独立信息。
三带投票则先从N条带取组合，每组给出可能取向，再统计投票。某类CI定义为(V₁−V₂)/V_ideal，它衡量第一与第二候选的票数差，并不天然是“正确概率”。例如V₁=18、V₂=16、V_ideal=30，CI≈0.067；若V₂=3则CI=0.5。它们都必须再检查回投影与候选相，不能把固定CI阈值跨材料、跨软件照搬。
4. 字典匹配把强度重新用起来
把预处理后的实测花样像素排成向量p，第j个模拟花样排成tⱼ，评分cⱼ=(p·tⱼ)/(|p||tⱼ|)，索引取j*=argmax cⱼ。归一化消除整体亮度倍数，但不自动消除加性背景；若要消除常数背景，可先减均值，再明确使用的相关系数定义。绝不能先把全部模板的相似度平均，再把这个平均数当作某个取向的评分。
教学例p=(1,2,0)，t₁=(2,4,0)，t₂=(2,1,0)，则c₁=1、c₂=4/5=0.8。第一项只是整体亮度不同，第二项强弱位置不同。真实模板由球面主花样、晶体取向、PC、能量和检测几何产生；网格过粗可能错过峰值，所以常用粗搜后局部精修。若候选晶体结构根本不在字典中，算法仍会选出一个最高分，这只是有限候选里的最优。
5. 球面索引的投影与相关积分
字典法把同一球面主花样投到许多方向的平屏；球面索引把实验平屏反投回单位球。对每个像素先求u=(x−pₓ,y−pᵧ,−L)/r，赋予实验强度E(u)，并保留有效区掩膜W(u)。球面相关为C(R)=∫W(u)E(u)M(R⁻¹u)dΩ，其中M是主花样。缺测球面不是实测零强度，归一化时应按同一有效覆盖区处理，避免把覆盖形状当成匹配信号。
等面积像素不对应等立体角。屏幕小块dxdy对源点张的立体角为dΩ=cosγ·dxdy/r²=Ldxdy/r³；中心像素与边缘像素应按这一Jacobian或等效球面重采样权重处理。把E和M展开成球谐Yℓm，再利用旋转使同阶系数通过Wigner D矩阵混合，球面正交性将相关积分变成各阶系数的乘积求和。高阶ℓ捕捉更细的带结构，增加带宽也增加计算和噪声敏感性。
6. 球面谐波为什么不是“把欧拉角再画密一点”
写M=Σℓm aℓmYℓm，E=Σℓn bℓnYℓn。定义旋转算子使M(R⁻¹u)=Σℓnm aℓmDℓ_nm(R)Yℓn(u)，则未加权完整球面的复相关C(R)=∫E* M_R dΩ=Σℓnm bℓn*Dℓ_nm(R)aℓm。这个等式来自∫Yℓn*Yℓ′n′dΩ=δℓℓ′δnn′；实际局部实验区要把掩膜与标准化纳入处理。相关峰给取向，峰附近再精修。
Lenthe、Singh和De Graef在2019年原始论文中，将该方法用于不同信噪比的Ni数据和喷丸Al数据，并研究带宽对速度、内存的影响。学习这个案例，应区分“模型利用更多强度信息”和“测量创造了更多信息”：低质量花样可以得到更稳健匹配，但缺测反射、几何错误和错误相库依然存在。原文入口 https://doi.org/10.1016/j.ultramic.2019.112841 。
7. 伪对称、极性、手性如何变成可检验问题
伪对称是不同真实结构或取向在有限测量下表现得过于相似。γ-TiAl的四方轴长接近立方，若只用强带中心，a轴与c轴可能被互换；弱超点阵反射和细微带角畸变可以补充证据。非中心对称晶体的极性或石英的左右手性则可能主要体现在动力学强度差，而不是相同的带中心几何。因此几何索引正确不等于点群、极性或手性已被正确区分。
Winkelmann与Nolze在石英研究中比较实验特征与动力学模拟来区分手性（https://doi.org/10.1016/j.ultramic.2014.11.013）。实际操作要固定晶体轴方向和屏幕左右定义，比较两种候选的差分特征，并排查照明造成的过剩/亏损不对称。可执行的核对顺序是：相库与对称→PC和畸变→几何回投影→结构敏感带→两候选残差→空间连续性；连续性只能辅助，不能用平滑强迫所有像素属于同一候选。
8. 重叠花样要给混合模型，不能只删除低分点
邻近相或叠层晶粒共同贡献时，一个教学模型为p≈aT_A(R_A)+(1−a)T_B(R_B)+背景，其中a是信号权重，不自动等于体积分数。若两个相有取向关系，R_A与R_B的约束能减少搜索变量；若没有，就不能强行加入。拟合一个纯相模板时，最高分可能对应主导相，也可能在相近取向之间折中。
2020年Lenthe等将重叠主花样与球面索引用于Ti–10–2–3双相组织（https://doi.org/10.1016/j.actamat.2020.02.025）。该例的重要做法是把相间取向关系写入模型，再识别变体；不是从一个低质量相图凭颜色补出β相。分析报告必须说明相库、取向关系、信号混合假设和对单相/混相候选的比较。
来源与延伸阅读
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