XCT 检测
05 · 重建原理：Radon 变换、FBP、FDK 与迭代法
从线积分的反问题讲起，理解反投影为什么模糊、滤波的作用和锥束算法的条件。
先记住这三点
- 从多个线积分恢复空间分布
- 为何简单反投影不够
- FDK 的位置
- 迭代方法与正则化
从多个线积分恢复空间分布
二维平行束投影可写 pθ(s)=∫μ(s cosθ−t sinθ, s sinθ+t cosθ)dt。θ 是投影方向，s 是探测器坐标。正向投影把二维图像积成一维曲线，多个角度曲线组成正弦图。一个离中心的点在正弦图中沿正弦轨迹移动。
傅里叶切片定理说明：一个方向投影的一维傅里叶变换，对应原二维图像频域中的一条径向切片。角度不足会留下未充分采样的频域信息，解释了某些条纹与方向性模糊。
为何简单反投影不够
直接把每条投影值沿射线路径涂回去，会让一点的贡献在许多方向扩散，得到模糊图。滤波反投影 FBP 先对投影滤波，再回投影，补偿简单反投影的频率权重。常用 ramp 滤波也会放大高频噪声，因此窗函数与带宽会改变锐度和噪声。
本页二维投影动画使用均匀圆盘与孔的解析弦长，只演示正向投影和角度关系，不声称实现工业三维重建。改变角度可看到一个孔如何在探测器坐标上移动。
FDK 的位置
Feldkamp、Davis 与 Kress 1984 年提出的实用锥束算法通常包含几何加权、滤波与反投影，广泛用于圆轨迹锥束 CT。它是实用近似；圆轨迹对一般三维对象并非完备采样，离中心平面较远或锥角较大时可能出现误差。
因此“算法运行成功”不等于所有体素都精确重建。软件的束硬化、环伪影与锐化设置也会影响结果，需保存具体版本与参数以便重复。
交互练习 · 原创教学模型
CT 正向投影：角度改变时，孔在投影中怎样移动
θ = 0.0°
圆孔中心投影到 s = 0.350。外圆在各角度保持相同轮廓，偏心孔的投影位置随角度变化。
这也解释了正弦图中一个离中心特征为何沿正弦轨迹移动。
二维平行束、单能、均匀圆盘（R=1，μ=1）与内部空气圆孔（r=0.24，中心 0.35、0.25）。曲线是解析弦长差，坐标为无量纲模型单位；未模拟噪声、锥束和重建。
迭代方法与正则化
离散形式可写 p≈Aμ，A 描述各射线穿过各体素的路径权重。迭代法最小化数据不一致并加入约束或正则化，例如非负性与平滑性。它可以改善某些噪声或欠采样情况，但先验可能抹平微裂纹或改变边界。
比较算法时用相同的目标量和参考真值检查偏差。若目标是孔隙率，不能只用视觉平滑度选参数；若目标是细裂纹，强平滑后“噪点消失”可能也意味着裂纹消失。
来源与延伸阅读
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